/Кто и когда "обрел телеси" Ивана Грозного, если, по свидетельству учёных, вскрывавших его гроб в 1960-х годах, на нём видны следы неудачного вскрытия только примерно середины 19 столетия?/

Разве вскрытие непременно должно было оставить заметные для археологов следы?

http://www.blagoslovenie.ru/client/New/84.htm
Возвращаясь к обнаруженному после вскрытия гробницы необычному положению правой руки государя, зададимся вопросом: «А может быть захоронение благоверного государя Иоанна Васильевича вскрывалось и раньше?» Археологи считают, что нет. Но у архиепископа Сергия в его «Полном месяцеслове Востока» т.1, изданном во Владимире в 1901 г., находим сведения о «замечательнейших, по словам самого Владыки, по своей полноте и особенностям» так называемых «Рукописных Святцах Ундольского» (№237). «Совершены бысть сии святцы в лето 7129 (1621 г. от Р.Х.) апреля в 25-й день в Корежемском монастыре». В них чтим: «Июня 10 – обретение телеси царя Иоанна». По всей видимости, изменение положения правой руки мощей благоверного государя связано именно с этим событием.
Комиссия, проводившая вскрытие гробницы, не обнаружила следов более раннего вскрытия по той причине, что вскрывалась она не варварски или в спешке, не для разграбления или надругательства над мощями государя, а с благоговением и любовью к царю-иноку.

/Наименование "царь" употреблялось ещё Иваном Грозным III применительно к себе, насколько я помню, так означено даже на его Судебнике/

Память Вас, в данном случае, подводит. Сохранился только один список Судебника Ивана III

http://historydoc.edu.ru/catalog.asp?cat_ob_no=&ob_no=12699&rt=&print=1
ЛЕТА 7006-ГО МЕСЯЦА СЕПТЕМВРИА УЛОЖИЛ КНЯЗЬ ВЕЛИКИЙ ИВАН ВАСИЛЬЕВИЧ ВСЕЯ РУСИ

Очевидно, Вы спутали его с судебником Ивана IV Грозного

http://hronos.km.ru/dokum/sudeb1550.html
Лета 7058 июня царь и великий князь Иван Васильевич всеа Руси [с] своею братьею и з бояры сесь Судебник уложил

То, что в 17 веке Ивана III называли царём - очень сомневаюсь, по крайней мере, нужны какие-то подтверждения этому. Ивана IV бесспорно называли.

Даже отрицавший канонизацию Грозного авторитетный историк Е. Голубинский не сомневался, что речь в святцах идёт об Иване IV Грозном: «под царем Иоанном, конечно, разумеется Грозный, умерший 18 марта 1584 года. Какое разумеется обретение его тела, не знаем».

Тоже не вижу другого кандидата.

/Иоанн Новый Сочавский/

Не царь, мощи находятся в Сочаве, точно не подходит.

Факт, что в 17 веке у нас почитали некоего святого царя Ивана.
http://monar.ru/galereia/node/58