/что-бы доллару быть долларом, разве не должна на нем стоять какая-то государственная печать США?/
А разве она там есть? Не помню. Вот реквизиты банка-эмитента помню. И с чего бы ей там быть: ФРС ведь не государственное казначейство и не центробанк, а частная лавочка.