"Могут ли родители контролировать, с кем и во что играет их ребенок? Могут и должны".

Не спорю.
Вопрос стоит в том: всегда ли этот контроль оправдан?
В случае с Барби - не оправдан, по-моему. Не знаю я, что Вы в фигуре тощей блондинки пошлого углядели и какие у нее такие ужасные прибамбасы (лошади там, сумочки, машинки...).

Впрочем, могу гарантировать, что "когда мы придем к власти", как нынче шутят в интернете, детей не будут обязывать играть в Барби. :-)) Ибо, как Вы совершенно справедливо заметили, родители вправе сами определять, во что играть их детям.