Попытаюсь растолковать. Этот "рассказ", как Вы изволите выражаться, читают при венчании потому, что он наиболее из всего евангельского текста отвечает существу происходящего события, сиречь брака. На Ваш пытливый вопрос для чего "наливают при этом" Вам ответит вот этот отрывок:
«Когда певчие пропоют «Отче наш», - - из алтаря выносится чаша с вином, которую священник благословляет, из которой трижды дает испить как жениху, так и невесте. Что это значит? Чаша с вином, подаваемая новобрачным, означает то, что они должны пить общую чашу жизни, - то есть делить друг с другом и труд, и радость и горе. Печаль, которою поделишься с любимым человеком, бывает не в пример легче, а радость, в которой участвует наш друг, такая радость несравненно милее и приятнее.
Показав общею чашею новобрачным, что в супружеской жизни они должны помогать друг другу, поддерживать один другого и утешать, священник соединяет правые руки жениха и невесты и, при пении торжественных песней, трижды обходит с ними вокруг аналоя. Это троекратное хождение означает радость жениха и невесты, и поучает их, что союз супружеский нерасторжим: как бесконечен круг, так вечна, нескончаема должна быть супружеская любовь и верность» (Желобовский Александр, протоиерей. Краткое объяснение семи таинств Христовых. Поучения духовного отца духовным детям. С П б., 1873. Репринт. С. 84-85) .
Остаюсь в полной надежде, что удовлетворил Вашему любопытству.